Question

已知双曲线

x2

a 2

-

y2

b 2

=1（b＞a＞0），0为坐标原点，离心率e=2，点M（

5

，

3

）在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P、Q两点，且

OP

•

OQ

=0，求：|OP|²+|OQ|²的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲求双曲线的方程，只需找到含a，b，c的方程，因为双曲线的离心率e=2，且点M（

5

，

3

）在双曲线上，所以可以得到两个关于a，b，c的方程，再根据c²=a²+b²，就可解出a，b，c，求出双曲线的方程．
（2）因为

OP

•

OQ

=0，所以

OP

⊥

OQ

，设直线OP的方程为y=kx，则直线OP的方程为y=-

1

k

x，分别代入双曲线方程，即可得P，Q的坐标用含k的式子表示，再代入|OP|²+|OQ|²，化简，利用均值不等式求最值即可．

解答：解：（1）∵离心率e=2∴

c

a

=2
∵点M（

5

，

3

）在双曲线上，∴

5 2

a 2

-

3 2

b 2

=1
又∵c²=a²+b²
∴双曲线的方程为

x2

4

-

y2

12

=1
（2）设P、Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
直线OQ的方程为y=kx，∵

OP

•

OQ

=0∴OP⊥OQ，∴直线OP的方程为y=-

1

k

x
化简得x₁²=

12

3-k2

，y₁²=

12k2

3-k2

，x₂²=

12

3-( 1 -k )2

，y₂²=

12( - 1 k )2

3-( 1 -k )2

∴x₁²+y₁²+x₂²+y₂²=

12

3-k2

+

12k2

3-k2

+

12

3-( 1 -k )2

+

12( - 1 k )2

3-( 1 -k )2

=

12+12k2

3-k2

+

12+12k2

3k2-1

=

24(1+k2)2

(3-k2)(3k2-1)

设1+k2=t，则t≥1，0＜

1

t

≤1
∴|OP|²+|OQ|²=

24t2

(4-t )(3t -4)

=

24

16(- 1 t2 + 1 t )-3

≥

24

16(- 1 22 + 1 2 )-3

=24
当且仅当t=2，即k=±1时，等号成立．
∴|OP|²+|OQ|²的最小值为24．

点评：本题考查了双曲线方程的求法，以及双曲线与不等式相结合求最值，做题时要认真分析，找到两者的联系．