Question

已知函数f（x）=x+

1

x

．
（Ⅰ）求证：f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）通过研究f（x）的性质，作出函数f（x）的大致图象．

Answer 1

分析：（I）根据已知中函数的解析式，求出其导函数的解析式，并分析x∈（0，1）时和x∈（1，+∞）时，导函数的符号，进而得到函数在这两个区间上的单调性．
（II）分析函数的奇偶性，进而结合（I）分析出函数的单调性，求出函数的极值后，可得函数f（x）的大致图象要．

解答：解：（I）∵f（x）=x+

1

x

．
∴f′（x）=1-

1

x2

．
当x∈（0，1）时，

1

x2

＞1，此时f′（x）＜0，故f（x）在（0，1）上是减函数，
当x∈（1，+∞）时，

1

x2

＜1，此时f′（x）＞0，故f（x）在（1，+∞）上是增函数，
（II）∵f（x）=x+

1

x

．
∴f（-x）=-x-

1

x

=-f（x）
即函数f（x）为奇函数，根据奇函数在对称区间上单调性相同，
由（I）得：f（x）在（-∞，-1）上是增函数，在（-1，0）上是减函数；
又由x=-1时，f（-1）=-2，又由x=1时，f（1）=2
故函数f（x）的大致图象如右图所示．

点评：本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明，函数的图象，函数的奇偶性，函数的极值，是函数图象和性质的综合应用．