Question

分别以双曲线G：

x2

2

-

y2

2

=1的焦点为顶点，以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C，过椭圆C的右焦点作与x、y两轴均不垂直的直线l交椭圆于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在y轴上是否存在点N（0，n），使得(

NA

+

NB

)•

AB

=0？若存在，求出n的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）依题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，a²=4，c²=2，b²=2．由此可知椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1.
（II）椭圆C的右焦点为F(

2

，0)，设直线l的方程为y=k(x-

2

)，k≠0.由

x2 4 + y2 2 =1 y=k(x- 2 )

得(1+2k2)x2-4

2

k2x+4k2-4=0.设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），记AB的中点为M（x₀，y₀），M(

2 2 k2

1+2k2

，-

2 k

1+2k2

)，由此入手能够推导出n的取值范围．

解答：解：（I）依题意可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
且a²=2+2+=4，c²=a²-b²=2，∴b²=2．（2分）
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1.（4分）
（II）椭圆C的右焦点为F(

2

，0)，
设直线l的方程为y=k(x-

2

)，k≠0.
由

x2 4 + y2 2 =1 y=k(x- 2 )

得(1+2k2)x2-4

2

k2x+4k2-4=0.（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），记AB的中点为M（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=

2 2 k2

1+2k2

，∴y0=k(x0-

2

)=-

2 k

1+2k2

，
∴M(

2 2 k2

1+2k2

，-

2 k

1+2k2

)，
若存在点N(0，n)，使得(

NA

+

NB

)•

AB

=0，
等价于存在点N(0，n)，使得2

NM

•

AB

=0，
从而

- 2 k 1+2k2 -n

2 2 k2 1+2k2

•k=-1，（8分）
解得n=

2 k

1+2k2

=

2

1 k +2k

．k≠0，
当k＞0时，

1

k

+2k≥2

2

，当且仅当k=

2

2

时取等号．（10分）
当k＜0时，

1

k

+2k=-[(-

1

k

)+(-2k)]≤-2

2

当且仅当k=-

2

2

时取等号．（11分）
所以存在点N(0，n)，使得(

NA

+

NB

)•

AB

=0.
且n的取值范围是[-

1

2

，0)∪(0，

1

2

].（14分）

点评：本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，仔细解答．