Question

【题目】已知三棱柱中，，，点为的中点，.

（1）求证：平面；

（2）条件①：直线与平面所成的角为；

条件②：为锐角，三棱锥的体积为.

在以上两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：

若平面平面，______，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）延长交于点，连接，证明出点为的中点，进而证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证明出平面；

（2）选条件①，取的中点，连接、，证明出平面，由直线与平面所成的角为，可求得，并证明出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

选条件②，取的中点，连接、，证明出平面，由三棱锥的体积为计算出，可得出，并证明出，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法能计算出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

（1）延长交于点，连接，

因为，，所以，所以，

又，所以，即为的中点，

因为为的中点，且，

所以且，则四边形为平行四边形，所以，

又因为平面，平面，

所以平面，即平面；

（2）选择条件①，解答过程如下：

取的中点，连接、，

因为，，所以，所以，

所以为直角三角形，所以，且，

因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，

为与平面所成的角，，

在中，，，

因为，，，所以，所以.

如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

所以，

设平面的法向量为，则，即，

取，则，，则，

因为平面轴，所以平面的一个法向量为，

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

选择条件②，解答过程如下：

取的中点，连接、，

因为，，所以，所以，

所以为直角三角形，所以，且，

因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，

所以为三棱锥的高，

因为，

所以，所以，

因为为锐角，所以，

因为，所以为等边三角形，所以.

如图，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，，

所以，

设平面的法向量为，则，即，

取，则，，则，

因为平面轴，所以平面的一个法向量为，

所以，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值.