Question

【题目】已知函数.

（1）求证：对任意实数，都有；

（2）若，是否存在整数，使得在上，恒有成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.（）

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）见解析

【解析】

（1）利用导数求得 ，令，再利用导数即可求得，问题得证。

（2）整理得：，令：，由得，对是否大于分类， 当时，即时，利用导数即可证得，当时，利用导数即可求得，要使不等式恒成立转化成成立，令，利用导数即可求得，，即可求得，问题得解。

解：（1）证明：由已知易得，所以

令得：

显然，时，<0，函数f（x）单调递减；

时，>0，函数f（x）单调递增

所以

令，则由得

时，>0，函数t（）单调递增；

时，<0，函数t（）单调递减

所以，即结论成立.

（2）由题设化简可得

令，所以

由=0得

①若，即时，在上，有，故函数单调递增

所以

②若，即时，

在上，有，故函数在上单调递减

在上，有.故函数在上单调递增

所以，在上，

故欲使，只需即可

令

由得

所以，时，，即单调递减

又

故