Question

（本小题满分13分）

如图1，在等腰梯形中，，，，为上一点， ，且．将梯形沿折成直二面角，如图2所示．

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）设点关于点的对称点为，点在所在平面内，且直线与平面所成的角为，试求出点到点的最短距离．

 

Answer 1

【答案】

(1)根据题意平几知识易得 ，同时 ，可知是二面角的平面角，从而得到证明。

(2)

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）在图1中，由平几知识易得，

在图2中，∵，

∴是二面角的平面角，

∵二面角是直二面角，∴.

∵，平面，平面，

又平面，平面平面． 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知两两互相垂直，

以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．…6分

则，，，，，,

，.

设平面的一个法向量为，

则，即. 取，得.

设，则.

直线与平面所成的角为，

，

即，化简得，

从而有

，

所以，当时，取得最小值.

即点到点的最短距离为．

考点：直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

点评：本小题通过对基本知识的考查，培养空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识。