Question

【题目】已知离心率为的椭圆：的上下顶点分别为，，直线：与椭圆相交于，两点，与相交于点 .

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）若，求面积的最大值；

（Ⅲ）设直线，相交于点，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）1

【解析】

（Ⅰ）根据题意解得得到椭圆方程.

（Ⅱ）设，，联立方程得到根与系数关系，根据垂直得到，计算三角形面积表达式，换元利用二次函数性质得到答案.

（Ⅲ）计算和的直线方程，相除整理得到，计算，，代入向量数量积公式得到答案.

（Ⅰ）由题意可得：，，，联立解得，.

所以椭圆的方程为：.

（Ⅱ）设，，联立方程组，

化简得；

，

，；

因为，

化简整理得到，故，

，

设，所以，所以当即时，.

（Ⅲ）设，，直线：①，

直线：②；①÷②得，

设，则，

即，所以.

所以，

所以，又因为，.