Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两实根，且a₁=1．
（1）求证：数列{an-

1

3

×2n}是等比数列；
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求S_n；
（3）问是否存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，得到：

an+an+1=2n bn=an•an+1

，再计算

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

的值，从而得出数列{an-

1

3

×2n}是首项为a1-

2

3

=

1

3

，公比为-1的等比数列；
（2）由（1）得an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，再利用等比数列的求和公式即可求S_n；
（3）由（2）得bn=an•an+1=

1

9

[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2

)

n

-1]，要使b_n＞λS_n，对?n∈N^*都成立，下面对n进行分类讨论：①当n为正奇数时，②当n为正偶数时，分别求得λ的取值范围，最后综上所述得到，存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，λ的取值范围．

解答：解：（1）证明：∵a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿ•x+b_n=0（n∈N^*）的两实根，
∴

an+an+1=2n bn=an•an+1

（2分）
∵

an+1- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

2n-an- 1 3 ×2n+1

an- 1 3 ×2n

=

-(an- 1 3 ×2n)

an- 1 3 ×2n

=-1．
故数列{an-

1

3

×2n}是首项为a1-

2

3

=

1

3

，公比为-1的等比数列．（4分）
（2）由（1）得an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，
即an=

1

3

[2n-(-1)n]∴Sn=a1+a2++an=

1

3

(2+22+23++2n)-

1

3

[(-1)+(-1)2++(-1)n]=

1

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]．（8分）
（3）由（2）得bn=an•an+1=

1

9

[2n-(-1)n]×[2n+1-(-1)n+1]=

1

9

[22n+1-(-2

)

n

-1]
要使b_n＞λS_n，对?n∈N^*都成立，
即

1

9

[22n+1-(-2)n-1]-

λ

3

[2n+1-2-

(-1)n-1

2

]＞0，(n∈N*)（*）（11分）
①当n为正奇数时，由（*）式得：

1

9

[22n+1+2n-1]-

λ

3

(2n+1-1)＞0
即

1

9

(2n+1-1)(2n+1]-

λ

3

(2n+1-1)＞0
∵2ⁿ⁺¹-1＞0，∴λ＜

1

3

(2n+1)对任意正奇数n都成立，
故

1

3

(2n+1)(n为奇数）的最小值为1．
∴λ＜1．（13分）
②当n为正偶数时，由（*）式得：

1

9

(22n+1-2n-1]-

λ

3

(2n+1-2)＞0，即

1

9

(22n+1+1)(2n-1)-

2λ

3

(2n-1)＞0
∵2ⁿ-1＞0，∴λ＜

1

6

(2n+1+1)对任意正偶数n都成立，
故

1

6

(2n+1+1)(n为偶数）的最小值为

3

2

．
∴λ＜

3

2

．（15分）
综上所述得，存在常数λ，使得b_n＞λS_n对?n∈N^*都成立，λ的取值范围为（-∞，1）．（16分）

点评：本小题主要考查等比关系的确定、数列的求和、不等式的解法、数列与函数的综合等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于中档题．