Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=4，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，(n≥2，n∈N*)
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：b₁=4，且b_n+1=b_n²-（n-1）b_n-2，（n∈N^*），
求证：b_n＞a_n，（n≥2，n∈N^*）；
（Ⅲ）求证：(1+

1

b2b3

)(1+

1

b3b4

)(1+

1

b4b5

)…(1+

1

bnbn+1

)＜

3	e

．

Answer 1

分析：（1）由 Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，可递推 Sn-1=(n-1)an-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，两式作差得a_n-a_n-1=1进而得到通项公式．
（2）用数学归纳法证明，先由证当n=2时，不等式成立．再假设当n=k（k≥2，k∈N₊）时，不等式成立，递推到当n=k+1时成立即可．
（3）构造函数f（x）=1n（1+x）-x，可证得1n（1+x）＜x．通过对不等式的左边取自然对数，利用结论可证．

解答：解：（1）当n≥3时，Sn=nan+2-

n(n-1)

2

，Sn-1=(n-1)an-1+2-

(n-1)(n-2)

2

，可得：an=nan-(n-1)an-1-

n-1

2

×2，∴a_n-a_n-1=1（n≥3，n∈N^*）．
∵a₁+a₂=2a₂+2-1，∴a₂=3．
可得，an=

4，(n=1) n+1．(n≥2，n∈N*)

----------------（4分）
（2）1°当n=2时，b₂=b₁²-2=14＞3=a₂，不等式成立．
2°假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时，不等式成立，即b_k＞k+1．那么，当n=k+1时，b_k+1=b_k²-（k-1）b_k-2=b_k（b_k-k+1）-2＞2b_k-2＞2（k+1）-2=2k≥k+2，
所以当n=k+1时，不等式也成立．
根据（1°），（2°）可知，当n≥2，n∈N^*时，b_n＞a_n．--------------（8分）
（3）设f(x)=1n(1+x)-x，f′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，∴f（x）＜f（0），∴1n（1+x）＜x．
∵当n≥2，n∈N^*时，

1

bn

＜

1

an

=

1

n+1

，
∴ln(1+

1

bnbn+1

)＜

1

bnbn+1

＜

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴ln(1+

1

b2b3

)+1n(1+

1

b3b4

)+…+ln(1+

1

bnbn+1

)＜

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

3

-

1

n+2

＜

1

3

∴(1+

1

b2b3

)(1+

1

b3b4

)…(1+

1

bnbn+1

)＜

3	e

．----------------------（12分）

点评：本题主要考查由数列的通项和前n项和之间的关系来求数列的通项公式，要注意分类讨论，还考查了用数学归纳法证明不等式，要注意两点，一是递推基础不能忽视，二是递推时要变形，符合假设的模型．