Question

如图棱长是1的正方体，P、Q分别是棱AB、CC₁上的点，且．
（1）求证：A₁P⊥平面AQD；
（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值．

Answer 1

证明：（1）平面AQD与侧棱B₁B的交点是R，
显然，在正方形ABB₁A₁中
由
所以AR⊥A₁P，
又AA₁⊥平面ABCD，AP⊥AD，得A₁P⊥AD，
∴A₁P⊥平面AQD
（2）设A₁P与AR交于点S，连接SQ，则∠PQS=θ即为PQ与平面AQD所成角．
在Rt△PQS中，，∴，
即直线PQ与平面AQD所成角的正弦值是．
分析：（1）要证A₁P⊥平面AQD，只需要证明A₁P⊥AD，AR⊥A₁P，利用三角形的全等可得AR⊥A₁P，从而得证．
（2）求直线PQ与平面AQD所成角的正弦值，关键是寻找斜线PQ在平面内的射影，由（1）易得A₁P与AR交于点S，连接SQ，则∠PQS即为PQ与平面AQD所成角，从而可解．
点评：本题的考点是直线与平面所成的角，主要考查线面垂直，考查线面角，关键是利用线面垂直的定义，寻找斜线在平面内的射影．