Question

如图，在组合体中，ABCD—A₁B₁C₁D₁是一个长方体，P—ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P平面CC₁D₁D，且PC=PD=．

（1）证明：PD平面PBC；
（2）求PA与平面ABCD所成的角的正切值；
（3）若，当a为何值时，PC//平面．

Answer 1

（1）先证，再证，根据线面垂直的判定定理可证结论
（2）（3）当时，
或建立空间直角坐标系可以用空间向量解决

解析试题分析：方法一：(1)因为，，
所以为等腰直角三角形，所以． 
因为是一个长方体，所以，
而，所以，所以．
因为垂直于平面内的两条相交直线和，
由线面垂直的判定定理，可得．

(2)过点在平面作于，连接．
因为，所以，
所以就是与平面所成的角．
因为，，所以．    
所以与平面所成的角的正切值为．          
(3)当时，．           
当时，四边形是一个正方形，所以，
而，所以，所以． 
而，与在同一个平面内，所以． 
而，所以，所以．
方法二：(1)证明：如图建立空间直角坐标系，设棱长，
则有，，，．                            
于是，，，
所以，．
所以垂直于平面内的两条相交直线和，
由线面垂直的判定定理，可得．   

(2)解：，所以，而平面的一个法向量为．
所以．所以