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    已知椭圆C：
    x
    2
     
    a
    2
     
    +
    y
    2
     
    b
    2
     
    =1(a＞b＞0)    ，点P(b，
    a
    2
    )    在椭圆上，其左、右焦点为F1、F2．
    （Ⅰ）求椭圆C的离心率；
    （Ⅱ）若
    PF1
    •
    PF2
    =
    1
    2
    ，过点S(0，-
    1
    3
    )    的动直线l交椭圆于A、B两点，请问在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个定点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）利用椭圆C：
    x
    2
     
    a
    2
     
    +
    y
    2
     
    b
    2
     
    =1(a＞b＞0)    ，点P(b，
    a
    2
    )    在椭圆上，建立方程，确定几何量的关系，即可求得椭圆的离心率；
    （Ⅱ）先求椭圆的标准方程，再由特殊情况猜想M（0，1），进而证明一般性的结论成立．
    解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C：
    x
    2
     
    a
    2
     
    +
    y
    2
     
    b
    2
     
    =1(a＞b＞0)    ，点P(b，
    a
    2
    )    在椭圆上，
    ∴
    b2
    a2
    +
    a2
    4b2
    =1    ，∴a2=2b2，∴c2=a2-b2=b2，
    ∴e=
    c
    a
    =
    		2
    2
    ；
    （Ⅱ）∵
    PF1
    •
    PF2
    =
    1
    2

    ∴（-c-b，-
    a
    2
    ）•（c-b，-
    a
    2
    ）=
    1
    2

    ∴b2-c2+
    a2
    4
    =
    1
    2

    ∴a=
    		2
    ，b=1
    ∴椭圆方程为
    x2
    2
    +y2=1    ；
    假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点．
    当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+y2=1①
    当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2+（y+
    1
    3
    ）2=
    16
    9
    ②
    由①，②知定点M（0，1）
    下证：以AB为直径的圆恒过定点M（0，1）．
    设直线l：y=kx-
    1
    3
    ，代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2-
    4
    3
    kx    -
    16
    9
    =0
    设A（x1，y1），B（（x2，y2），则x1+x2=
    4k
    3(2k2+1)
    ，x1x2=
    -16
    9(2k2+1)

    ∵
    MA
    =(x1，y1-1)    ，
    MB
    =(x2，y2-1)
    ∴
    MA
    •
    MB
    =x1x2+（y1-1）（y2-1）=（1+k2）x1x2-
    4
    3
    k（x1+x2）+
    16
    9
    =0
    ∴在x轴上存在定点M（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个定点．
    点评：本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查存在性问题，由特殊到一般是解题的关键．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：x2+
    y2
    m
    =1    的焦点在y轴上，且离心率为
    		3
    2
    ．过点M（0，3）的直线l与椭圆C相交于两点A、B．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设P为椭圆上一点，且满足
    OA
    +
    OB
    =λ
    OP
    （O为坐标原点），当|
    PA
    |-|
    PB
    |＜
    		3
    时，求实数λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x
    2
     
    a
    2
     
    +
    y
    2
     
    b
    2
     
    =1(a＞b＞0)    经过 点B(0，
    		3
    )    ，且离心率为
    1
    2
    ，右顶点为A，左右焦点分别为F1，F2；椭圆C2以坐标原点为中心，且以F1F2为短轴端，上顶点为D．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程；
    （Ⅱ）若C1与C2交于M、N、P、Q四点，当AD∥F2B时，求四边形MNPQ的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C经过点A(1， 
    		3
    2
    )    ，且经过双曲线y2-x2=1的顶点．P是该椭圆上的一个动点，F1，F2是椭圆的左右焦点，
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）求|PF1|•|PF2|的最大值和最小值．
    （3）求
    PF1
    •
    PF2
    的最大值和最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•安徽模拟）已知椭圆C：
    x
    2
     
    a
    2
     
    +
    y
    2
     
    b
    2
     
    =1(a＞b＞0)    的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），长半轴长为
    		2
    ．
    （1）（i）求椭圆C的方程；
    （ii）类比结论“过圆
    x
    2
     
    +
    y
    2
     
    =r2    上任一点（x0，y0）的切线方程是x0x+yy0=
    r
    2
     
    ”，归纳得出：过椭圆
    x
    2
     
    a
    2
     
    +
    y
    2
     
    b
    2
     
    =1(a＞b＞0)    上任一点（x0，y0）的切线方程是
    x0x
    a
    2
     
    +
    y0y
    b
    2
     
    =1
    x0x
    a
    2
     
    +
    y0y
    b
    2
     
    =1
    ；
    （2）设M，N是直线x=2上的两个点，若
    F1M
    •
    F2M
    =0，求|MN|    的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C：
    x
    2
     
    a
    2
     
    +
    y
    2
     
    b
    2
     
    =1(a＞b＞0)    ，F1、F2分别为椭圆c的左右焦点，点P在椭圆C上（不是顶点），△PF1F2内一点G满足3
    PG
    =
    PF1
    +
    PF2
    ，其中
    OG
    =(
    1
    9
    a，
    		6
    9
    a)    ．
    （I）求椭圆C的离心率；
    （Ⅱ）若椭圆C短轴长为2
    		3
    ，过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），若
    AF2
    =2
    F2B
    ，求△F1AB面积．

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