Question

如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=4，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证BD⊥平面PAC，只需证明BD垂直平面PAC内的两条相交直线PA，AC即可．
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF，说明∠EFD为二面角A-PC-D的平面角，推出Rt△EFC∽Rt△PAC，通过解Rt△EFD，求二面角A-PC-D的大小．

解答：证明：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD．∴BD⊥PA．
又tanABD=

AD

AB

=

3

3

，tanBAC=

BC

AB

=

3

．∴∠ABD=30°，∠BAC=60°，∴∠AEB=90°，即BD⊥AC．
又PA∩AC=A．∴BD⊥平面PAC
（Ⅱ）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．
∵DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，∴∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．
又∠DAC=90°-∠BAC=30°，
∴DE=ADsinDAC=1，AE=ABsinABE=

3

，
又AC=4

3

，∴EC=3

3

，PC=8．
由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF=

PA•EC

PC

=

3 3

2

．
在Rt△EFD中，tanEFD=

DE

EF

=

2 3

9

，∴∠EFD=arctan

2 3

9

．
∴二面角A-PC-D的大小为arctan

2 3

9

．

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查逻辑思维能力，空间想象能力，计算能力，是中档题．