Question

已知函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，a，b∈R．
（Ⅰ）若a+b≥0，求证：f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）；
（Ⅱ）判断（Ⅰ）中命题的逆命题是否成立，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）由已知中函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，根据a+b≥0，易得a≥-b，且b≥-a，进而根据单调性的性质和不等式的性质，即可得到答案．
（II）（I）中命题的逆命题为若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0，根据正“难”则“反”的原则，我们可以用反证法判定结论的真假．

解答：证明：（Ⅰ）因为a+b≥0，所以a≥-b．
由于函数f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，
所以f（a）≥f（-b）．
同理，f（b）≥f（-a）．
两式相加，得f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）．…（6分）
（Ⅱ）逆命题：
若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），则a+b≥0．
用反证法证明
假设a+b＜0，那么

a+b＜0?a＜-b?f(a)＜f(-b) a+b＜0?b＜-a?f(b)＜f(-a).

所以f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）．
这与f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾．故只有a+b≥0，逆命题得证．
…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，命题的真假判断与应用，其中（1）的关键是将a+b≥0，变形为a≥-b，且b≥-a，（2）的关键是根据正“难”则“反”的原则，选用反证法进行论证．