Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）记，求函数y=g（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当k=2时，若函数y=g（x）的图象在直线y=x+m的下方，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据函数为奇函数求出b，然后根据函数f（x）在x=1取得极大值2，建立a与c的方程组，解之即可求出函数y=f（x）的解析式
（2）先求函数的定义域，讨论k与-1的大小，然后利用导数的符号确定函数的单调性即可．
（3）令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，求出函数的导数即可．
解答：解：（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0
∴f'（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得极大值2．
∴
解得a=-1，c=3，
∴f（x）=-x³+3x
（2）∵g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，
∴
因为函数定义域为（0，+∞），所以
①当，k=-1时，g'（x）=-2x＜0，函数在（0，+∞）上单调递减；
②当k＜-1时，k+1＜0，
∵x＞0，
∴．可得函数在（0，+∞）上单调递减；
③k＞-1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得，
∵x＞0，
∴-2x²+（k+1）＞0，得，结合x＞0，得；
令g'（x）＜0，得，同上得2x²＞（k+1），解得，
∴k＞-1时，单调递增区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）
综上，当k≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；
当k＞-1时，函数的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）（包含不扣分）
（3）当k=2时，g（x）=-x²+3+3lnx，
令h（x）=g（x）-（x+m）=-x²-x+3lnx+3-m，（11分）
，
令h′（x）=0，，得x=1，（舍去）．
由函数y=h（x）定义域为（0，+∞），则当0＜x＜1时，h'（x）＞0，
当x＞1时h'（x）＜0，
∴当x=1时，函数h（x）取得最大值1-m．
由1-m＜0得m＞1
故m的取值范围是（1，+∞）．
点评：本题主要考查了函数解析式的求解，以及利用导数研究函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想，是高考中常考的题型，属于中档题．