Question

【题目】已知圆心在直线上的圆C经过点，且与直线相切.

（1）求过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线方程；

（2）过点P作两条相异的直线分别与圆C交于A，B，若直线PA，PB的倾斜角互补，试判断直线AB与OP的位置关系（O为坐标原点），并证明.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）平行

【解析】

（1）设出圆的圆心为，半径为，可得圆的标准方程，根据题意可得，解出即可得出圆的方程，讨论过点P的直线斜率存在与否，再根据点到直线的距离公式即可求解.

（2）由题意知，直线PA，PB的倾斜角互补，分类讨论两直线的斜率存在与否，当斜率均存在时，则直线PA的方程为：，直线PB的方程为：，分别与圆C联立可得，利用斜率的计算公式与作比较即可.

（1）根据题意，不妨设圆C的圆心为，半径为，

则圆C，

由圆C经过点，且与直线相切，

则，解得，

故圆C的方程为：，所以点在圆上，

过点P且被圆C截得的弦长等于4的直线，

当直线的斜率不存在时，直线为： ，满足题意；

当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，

直线方程为：，故，

解得，故直线方程为：.

综上所述：所求直线的方程：或.

（2）由题意知，直线PA，PB的倾斜角互补，且直线PA，PB的斜率均存在，

设两直线的倾斜角为和，

，，因为，

由正切的性质，则，

不妨设直线的斜率为，则PB的斜率为，

即：，则：，

由，得，

点的横坐标为一定是该方程的解，故可得，

同理，，

，

,

直线AB与OP平行.