Question

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，f(x)=

2x

4x+1

．
（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？

Answer 1

分析：（I）由f（x）是x∈R上的奇函数，得f（0）=0．再由最小正周期为2，得到（1）和f（-1）的值．然后求（-1，0）上的解析式，通过在（-1，0）上取变量，转化到（0，1）上，应用其解析式求解．
（II）用定义，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．
（III）根据题意，求得f（x）在（-1，1）上的值域即可．

解答：（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函数，∴f（0）=0．---------（1分）
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
f(-x)=

2-x

1+4-x

=

2x

1+4x

=-f（x）
∴f(x)= -

2x

1+4x

---------（2分）
∴f(x)=

- 2x 1+4x ，x∈(-1，0) 0，x=0 2x 1+4x ，x∈(0，1)

---------（3分）
（Ⅱ）证明：设0＜x₁＜x₂＜1，
则f(x1)-f(x2)=

(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

，------（4分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴2x1＜2x2，2x1+x2＞20=1，---------（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，1）上为减函数．---------（6分）
（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴f（1）＜f（x）＜f（0）即

2

5

＜f(x)＜

1

2

---------（7分）
同理，f（x）在（-1，0）上时，f（x）∈(-

1

2

，-

2

5

)---------（8分）
又f（0）=0
当λ∈(-

1

2

，-

2

5

)或(

2

5

，

1

2

)或λ=0时方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解．-----------------（10分）

点评：本题主要考查如何利用求对称区间上的解析式，特别注意端点问题，还考查了用定义证明单调性求分段函数值域问题．