Question

在四棱锥P-ABCD中PD⊥底面ABCD，底面为正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）要证：EF⊥CD，先证DC⊥AP，再证EF‖AP即可证明EF⊥CD．
（2）如图，取BD的中点H，连接FH，要证GF⊥平面PCB，只需证明GF⊥BC．GF⊥PB即可．

解答：证明（1）∵PD⊥DC，DC⊥AD，AD∩PD=D，
∴DC⊥平面PAD，
∵AP∈平面ABCD，∴DC⊥AP，
∵E、F分别是PB和AB的中点，EF是三角形PAB的中位线，EF‖AP，
∴EF⊥CD．

（2）取BD的中点H，连接FH，则FH是三角形PBD的中位线，
EF‖PD，PD⊥平面ABCD，EF⊥平面ABCD，
过H作GM平行AB，交AD于G，交BC于M，连接GF，GH⊥AD，
根据三垂线定理，GF⊥AD，AD‖BC，故GF⊥BC，
设AB=1个单位，PG=BG=

5

2

，三角形PGB是等腰三角形，F是PB的中点，GF⊥PB，PB∩BC=B，
∴GF⊥平面PBC，即取AD的中点G，则GF⊥平面PBC．

点评：本题考查学生的空间想象能力，以及对线面关系的考查，是难题．