Question

（本小题满分12分）

        已知函数的图像过点（1，3），且对任意实数x都成立，函数的图像关于原点对称。

   （I）求的解析式；

   （II）若在[—1，1]上是增函数，求实数的取值范围。

Answer 1

解: （Ⅰ）解法1：由题意知：f（x）=x²+mx+n的对称轴为x=－1,

故f（x）=x²+2x       2分

设函数y=g（x）图象上的任意一点P（x,y），P关于原点的对称点为Q（x₀,y₀）

依题意得     4分

因为点Q（x₀,y₀） 在函数y=f（x）的图象上,

∴－y=x²－2x，即y=－x²+2x,   g（x）=－x²+2x,      7分

（Ⅰ）解法2:：取x=1，由f（－1+x）=f（－1－x）得f（0）=f（－2）

由题意知： f（x）=x²+2x  2分

下同解法1．

（Ⅰ）解法3：∵f（－1+x）=（－1+x）²+m（－1+x）+n，

f（－1－x）=（－1－x）²+m（－1－x）+n，

又f（－1+x）=f（－1－x）对任意实数x都成立，

∴2mx=4x恒成立,m=2．．

而f（1）=1+m+n=3+n=3,∴n=0． f（x）=x²+2x    2分

下同解法1．

（Ⅱ）解法1：F（x）=g（x）－f（x）= －x²+2x－（ x²+2x）=－（1+）x²+2（1－）x

∵F（x）在[－1，1]上是连续的递增函数,

∴在[－1，1]上恒成立         8分

即          9分

∴≤0时,F（x）=g（x）－f（x）在[－1，1]上是增函数       12分

（Ⅱ）解法2：F（x）=g（x）－f（x）= －x²+2x－（ x²+2x）=－（1+）x²+2（1－）x

∵F（x）在[－1，1]上是连续的递增函数,

∴在[－1，1]上恒成立        8分

∴在上恒成立      9分

又函数y=上为减函数，      10分

当x=1时y=取最小值0，    11分

∴≤0时,F（x）=g（x）－f（x）在[－1，1]上是增函数．    12分

（Ⅱ）解法3：⑴当时，F（x）=4x，符合题意．     8分

⑵当，即时，由二次函数图象和性质，

只需满足，解得：      10分

⑶当，即时，由二次函数图象和性质，

只需满足：，解得：

综上，≤0时,F（x）=g（x）－f（x）在[－1，1]上是增函数．    12分