Question

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+

6

=0相切．
（Ⅰ） 求双曲线E的方程；
（Ⅱ）已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使

FP

•

FQ

为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）原点到直线 x-y+

6

=0的距离d=

6

2

=

3

，
∴c=2，a=

3

，∴b=1，
∴双曲线E的方程为E：

x2

3

-y2=1；         
（Ⅱ）解法一：假设存在点M（m，0）满足条件，
①当直线l方程为y=0时，则P(-

3

，0)，Q(

3

，0)，F(-2，0)，∴

FP

•

FQ

=(-

3

+2，0)•(

3

+2，0)=1；
②当直线l方程不是y=0时，可设直线l：x=ty+m，(t≠±

3

)代入E：

x2

3

-y2=1
整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0 (t≠±

3

)，*
由△＞0得m²+t²＞9，
设方程*的两个根为y₁，y₂，满足y1+y2=-

2mt

t2-3

， y1y2=

m2-3

t2-3

，∴

FP

•

FQ

=(ty1+m+2，y1)•(ty2+m+2，y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=

t2-2m2-12m-15

t2-3

，
当且仅当2m²+12m+15=3时，

FP

•

FQ

为定值1，
解得m=-3±

3

，
∵m=-3+

3

不满足对任意t≠±

3

，△＞0，∴不合题意，舍去．
而且m=-3-

3

满足△＞0；
综上得：过定点M(-3-

3

，0)任意作一条直线l交双曲线E于P，Q两点，使

FP

•

FQ

为定值1．
解法二：前同解法一，得

FP

•

FQ

=

t2-2m2-12m-15

t2-3

，
由

t2-2m2-12m-15

t2-3

=1?2m²+12m+15=3，
解得m=-3±

3

，下同解法一．
解法三：当直线l不垂直x轴时，设l：y=k(x-m) (k≠±

3

3

)，代入E：

x2

3

-y2=1
整理得(3k2-1)x2-6mk2x+3(m2k2+1)=0 (k≠±

3

3

)，*
由△＞0得m²k²-3k²+1＞0，
设方程*的两个根为x₁，x₂，满足x1+x2=

6mk2

3k2-1

， x1x2=

3m2k2+3

3k2-1

，
∴

FP

•

FQ

=(x1+2，k(x1-m))•(x2+2，k(x2-m))=(1+k2)x1x2+(2-mk2)(x1+x2)+m2k2+4=

(2m2+12m+15)k2-1

3k2-1

，
当且仅当2m²+12m+15=3时，

FP

•

FQ

为定值1，
解得m=-3±

3

，
∵不满足对任意K≠±

3

3

，△＞0，∴m=-3+

3

不合题意，舍去，
而且m=-3-

3

满足△＞0；   
当直线l⊥x轴时，l：x=-3-

3

代入E：

x2

3

-y2=1得y1，2=±

3+2 3

，
∴

FP

•

FQ

=(-1-

3

，y1)•(-1-

3

，y2)=(-1-

3

)2+y1y2=1；…（9分）
综上得：（结论同解法一）