Question

已知数列满足（为常数），成等差数列.
（Ⅰ）求p的值及数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，证明：.

Answer 1

（Ⅰ）,；（Ⅱ）详见解析.

解析试题分析：（Ⅰ）利用成等差数列.可求p的值，再用累加法求数列的通项公式；（Ⅱ）通过作差判断数列的单调性或利用数学归纳法进行证明.
试题解析：（Ⅰ）由
得
∵成等差数列，
∴
即得              （2分）
依题意知，
当时，


相加得
∴
∴                      （4分）
又适合上式，                      （5分）
故                         （6分）
（Ⅱ）证明：∵∴
∵       （8分）
若则
即当时，有                  （10分）
又因为                    （11分）
故                         （12分）
（Ⅱ）法二：要证
只要证                     （7分）
下面用数学归纳法证明：
①当时，左边=12，右边=9，不等式成立；
当时，左边=36，右边=36，不等式成立.         （8分）
②假设当时，成立.        （9分）
则当时，左边=4×3^k+1=3×4×3^k≥3×9k²，
要证3×9k²≥9（k+1）²，
只要正3k²≥（k+1）²，
即证2k²-2k-1≥0.                     （10分）
而当k即且时，上述不等式成立.     （11分）
由①②可知，对任意，所证不等式成立.         （12分）
考点：1.等差中项；2.累加法求和；3.数列单调性；4.数学归纳法.