Question

【题目】已知函f（x）=x2﹣x+alnx．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）有两个极值点x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求证f（x2）＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

函数的导数f′（x）=2x﹣1+ ，

当a=1时，f（1）=1﹣1+1n1=0，

f′（1）=2﹣1+1=2，

即函数y=（x）在点（1，0）处的切线斜率k=2，

则对应的切线方程为y=2（x﹣1），即y=2x﹣2；

（2）证明：由题意，f（x）=x2﹣x+1+alnx的定义域为（0，+∞），

∴f′（x）=2x﹣1+ = ；

∵f（x）有两个极值点x1，x2，

∴f′（x）=0有两个不同的正实根x1，x2，

∵2x2﹣x+a=0的判别式△=1﹣8a＞0，解得a＜ ；

∴x1+x2= ，x1x2= ＞0，

∴a＞0；

综上，a的取值范围为（0， ）．

∵0＜x1＜x2，且x1+x2= ，

∴ ＜x2＜ ，a=x2﹣2 ，

∴f（x2）= ﹣x2+1+（x2﹣2 ）lnx2．

设t=x2，

令g（t）=t2﹣t+1+（t﹣2t2）lnt，其中 ＜t＜ ，

则g′（t）=（1﹣4t）lnt．

当t∈（ ， ）时，g′（t）＞0，

∴g（t）在（ ， ）上是增函数．

∴g（t）＜g（ ）=（ ）2﹣ +1+（ ﹣2×（ ）2）ln = ．

故f（x2）=g（x2）＜ ．

【解析】（1）对f（x）求导数，f′（x）=0有两个不同的正实根x1 ， x2 ， 由判别式以及根与系数的关系求出a的取值范围；（2）由x1、x2的关系，用x2把a表示出来，求出f（x2）的表达式与取值范围即可得到结论．
【考点精析】关于本题考查的函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．