Question

近年来，网上购物已经成为人们消费的一种趋势．假设某淘宝店的一种装饰品每月的销售量y（单位：千件）与销售价格x（单位：元/件）满足关系式y=

m

x-2

+4(x-6)2，其中2＜x＜6，m为常数，已知销售价格为4元/件时，每月可售出21千件．
（1）求m的值；  
（2）假设该淘宝店员工工资、办公等每月所有开销折合为每件2元（只考虑销售出的件数），试确定销售价格x的值，使该店每月销售饰品所获得的利润最大．（结果保留一位小数）

Answer 1

分析：（1）把x=4，y=21代入关系式y=

m

x-2

+4(x-6)2，其中2＜x＜6，m为常数，即可解出m；
（2）利用可得每月销售饰品所获得的利润f（x）=（x-2）[

10

x-2

+4(x-6)2]，利用导数研究其定义域上的单调性与极值最值即可得出．

解答：.解：（1）∵x=4时，y=21，
代入关系式y=

m

x-2

+4(x-6)2，得

m

2

+16=21，
解得m=10．
（2）由（1）可知，饰品每月的销售量y=

10

x-2

+4(x-6)2，
∴每月销售饰品所获得的利润f(x)=(x-2)[

10

x-2

+4(x-6)2]=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2＜x＜6)，
从而 f'（x）=12x²-112x+240=4（3x-10）（x-6）（2＜x＜6），
令f'（x）=0，得x=

10

3

，且在(2，

10

3

)上，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在(

10

3

，6)上，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
∴x=

10

3

是函数f（x）在（2，6）内的极大值点，也是最大值点，
∴当x=

10

3

≈3.3时，函数f（x）取得最大值．即销售价格为3.3元/件时，该店每月销售饰品所获得的利润最大．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值解决实际问题，属于难题．