Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于.

（1）求椭圆的方程；

（2）设经过点的直线交椭圆于，两点，点.

①若对任意直线总存在点，使得，求实数的取值范围；

②设点为椭圆的左焦点，若点为的外心，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②.

【解析】

（1）依题意解之即得椭圆的方程.(2) ①设直线的方程为，代入椭圆的方程，根据，解得.，所以，即. 解得.由，即可解得m范围 ②

由，.所以，解得,即可求出m值.

解：（1）依题意解得所以，

所以椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为，

代入椭圆的方程，消去，得.

因为直线交椭圆于两点，所以，

解得.

设，，则有，.

①设中点为，

则有，.

当时，因为，所以，即.

解得.

当时，可得，符合.

因此.

由，解得.

②因为点为的外心，且，所以.

由

消去，得，所以 ，也是此方程的两个根.

所以，.

又因为，，所以，解得.

所以.