Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁、x₂∈［0，］都有f（x₁+x₂）=f（x₁）·f（x₂），且f(1)=a＞0.

（1）求f()及f()

（2）证明：f（x）是周期函数；

（3）记a_n=f(2n+，求a_n.

Answer 1

解析:

（1）解  ∵对x₁、x₂∈，

都有f（x₁+x₂）=f（x₁）·f（x₂），

∴f（x）=f(≥0，x∈［0，1］.

∴f（1）=f(

 f(.

 ∵f(1)=a＞0, ∴f(

（2）证明  ∵y=f（x）的图象关于直线x=1对称，

∴f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R.

又由f（x）是偶函数知，f（-x）=f（x），x∈R，

∴f（-x）=f（2-x），x∈R.

将上式中-x用x代换，得f（x）=f（x+2），x∈R.

这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.

（3）解  由（1）知f（x）≥0，x∈［0，1］.

∵f(=f(…

=f(…·f(又f(

∵f（x）的一个周期是2，∴a_n=f(2n+)=f(),∴a_n=a.