Question

设点P(x,y)(x≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点)，点P到定点M(，0)的距离比点P到y轴的距离大?

(1)求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；

(2)若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点，且OA⊥OB，点O到直线l的距离为，求直线l的方程.

Answer 1

解：(1)依题意得|PM|=d+，其中d表示点P到y轴的距离，

    即=|x|+.

∵x≥0,∴=x+.

    整理得y²=2x.

    这就是动点P的轨迹方程，它表示顶点在原点，对称轴为x轴，开口向右的一条抛物线.

(2)a.当直线l的斜率不存在时，由题设可知直线l的方程是x=.

    联立x=与y²=2x，可求得点A、B的坐标分别为(，)与(，-)，此时不满足OA⊥OB，故不合题意.

b.当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+b(其中k≠0,b≠0).

    将x=代入y²=2x中，

    并整理得ky²-2y+2b=0.                                                      ①

    设直线l与抛物线的交点坐标为A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，则y₁、y₂为方程①的两个根，于是y₁y₂=.又由OA⊥OB可得x₁x₂+y₁y₂=0.                                                  ②

    将x₁=、x₂=代入②并整理得y₁y₂+4=0,∴b+2k=0.    ③

    又由点O到直线l的距离为,得.                    ④

    联立③④得k=1,b=-2或k=-1，b=2.

    故直线l的方程为y=x-2或y=-x+2.