Question

（2012•宝山区一模）已知函数f（x）=

-3x+a

3x+1+b

．
（1）当a=b=1时，求满足f（x）≥3^x的x的取值范围；
（2）若y=f（x）的定义域为R，又是奇函数，求y=f（x）的解析式，判断其在R上的单调性并加以证明．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

1-3x

3x+1+1

≥3^x从中解得-1≤3^x≤

1

3

，解此指数不等式即可求得x的取值范围；
（2）由f（0）=0，可求得a，f（1）+f（-1）=0可求得b，从而可得y=f（x）的解析式；利用单调性的定义，对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，再作差f（x₁）-f（x₂），最后判断符号即可．

解答：解：（1）由题意，

1-3x

3x+1+1

≥3^x，化简得3•（3^x）²+2×3^x-1≤0…（2分）
解得-1≤3^x≤

1

3

…（4分）
所以x≤-1…（（6分），如果是其它答案得5分）
（2）已知定义域为R，所以f（0）=

-1+a

3+b

=0⇒a=1，…（7分）
又f（1）+f（-1）=0⇒b=3，…（8分）
所以f（x）=

1-3x

3x+1+3

；…（9分）
f（x）=

1-3x

3x+1+3

=

1

3

（

1-3x

3x+1

）=

1

3

（-1+

2

3x+1

）
对任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
可知f（x₁）-f（x₂）=

1

3

（

2

3x1+1

-

2

3x2+1

）=-

2

3

（

3x1-3x2

(3x1+1)(3x2+1)

）…（12分）
因为x₁＜x₂，所以3x2-3x1＞0，所以f（x₁）＞f（x₂），
因此f（x）在R上递减．…（14分）

点评：本题考查指数不等式的解法，考查函数奇偶性的应用，考查函数单调性的判断与证明，属于综合题，难度大，运算量大，属于难题．