Question

一个四棱锥的直观图和三视图如图所示：

（1）求证：DA⊥PD；

（2）若M为PB的中点，证明：直线CM∥平面PDA；

（3）若PB=1，求三棱锥A﹣PDC的体积．

Answer 1

考点：

直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．

专题：

空间位置关系与距离．

分析：

（1）根据三视图，得PB⊥面ABCD，可得PB⊥DA．梯形ABCD中，根据题中数据证出BD²+AD²=AB²，从而DA⊥BD，再利用线面垂直判定定理即可证出DA⊥平面PBD，可得DA⊥PD；

（2）取PA中点N，连结MN、DN，利用三角形中位线定理，结合梯形ABCD证出四边形MNDC是平行四边形，得CM∥DN，根据线面平行判定定理，即可得到CM∥平面PDA；                  

（3）根据（1）的结论，PB是三棱锥P﹣CDA的高，结合题中数据算出三棱锥P﹣CDA的体积为，即可得到三棱锥A﹣PDC的体积．

解答：

解：由三视图可知：PB⊥面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PB=BC=CD=1且AB=2

（1）∵PB⊥面ABCD，DA⊂面ABCD，∴PB⊥DA

在梯形ABCD中，PB=BC=CD=1，AB=2

∴BD=，AD=，可得BD²+AD²=4=AB²，

∴DA⊥BD，

又∵PB、BD是平面PBD内的相交直线，

∴DA⊥平面PBD，结合PD⊂平面PBD，可得DA⊥PD；                …（5分）

（2）取PA中点N，连结MN、DN，

∵MN是△PAB的中位线，∴MNAB，

又∵梯形ABCD中，CDAB，

∴MNCD，可得四边形MNDC是平行四边形，得CM∥DN，

∵CM⊄平面PDA，DN⊂平面PDA，∴CM∥平面PDA                   …（9分）

（3）∵PB⊥面ABCD，得PB是三棱锥P﹣CDA的高，

∴三棱锥P﹣CDA的体积V_P﹣CDA=S_△CDA×PB==

∴三棱锥A﹣PDC的体积V=V_P﹣CDA=                   …（12分）

点评：

本题在特殊的四棱锥中证明线线垂直、线面平行，并求三棱锥的体积，着重考查了空间直线与直线、直线与平面的位置关系证明和锥体体积的求法等知识，属于中档题．