Question

已知-1≤a≤1，解关于x的不等式：ax²-2x+a＞0．

Answer 1

分析：针对a的值，分类讨论①当a=0时，②当a=-1时，③当-1＜a＜0时，④当0＜a＜1时，⑤当a=1时，最后综合可得．

解答：解：①当a=0时，原式化为-2x＞0，即x＜0；a≠0时，△=（-2）²-4a²=4（1+a）（1-a）…（1分）
②当a=-1时，△=0，原式化为-（x+1）²＞0，即 （x+1）²＜0，∴x∈∅…（2分）
③当-1＜a＜0时，△＞0，方程ax²-2x+a＞0的根为x_1、2=

2± 4(1-a2)

2a

=

1± (1-a2)

a

，
∴

1+ (1-a2)

a

＜x＜

1- (1-a2)

a

…（6分）
④当0＜a＜1时，结合③知，x＜

1- (1-a2)

a

或x＞

1+ (1-a2)

a

…（10分）
⑤当a=1时，原式化为x²-2x+1＞0，即（x-1）²＞0，∴x∈R，且x≠1…（11分）
总之，原不等式的解集为：当a=-1时，x∈∅；当-1＜a＜0时，x∈（

1+ (1-a2)

a

，

1- (1-a2)

a

）；
当a=0时，x∈（-∞，0）；当0＜a＜1时，x∈（-∞，

1- (1-a2)

a

）∪（

1+ (1-a2)

a

，+∞）；
当a=1时，{x|x∈R，且x≠1}…（12分）

点评：本题考查含参数的不等式的解法，熟练的分类讨论是解决问题的关键，属中档题．