Question

已知正方形ABCD，E、F分别是边AB、CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图所示，记二面角A-DE-C的大小为θ（0＜θ＜π）。

（1）证明BF∥平面ADE；
（2）若△ACD为正三角形，试判断点A在平面BCDE内的射影G是否在直线EF上，证明你的结论，并求角θ的余弦值。

Answer 1

解：（1）证明：E、F分别是正方形ABCD的边AB、CD的中点 ∴ED∥FD，且EB=FD， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴EF∥ED ∵BD平面AED，而BF平面AED ∴BF∥平面AED。
（2）点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上， 过点A作AG⊥平面BCDE，垂足为G，连结GC，GD ∵△ACD为正三角形 ∴AC=AD， ∴GC=GD， ∴G在CD的垂直平分线上， 又∵EF是CD的垂直平分线 ∴点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上 过G作GH⊥ED，垂足为H，连结AH，则AH⊥DE ∴∠AHG是二面角A-DE-C的平面角，即∠AHG=θ 设原正方形ABCD的边长为2a，连结AF 在折后图的△AEF中，AF=a，EF=2AE=2a， ∴△AEF为直角三角形，AG·EF=AE·AF， ∴AC= 在Rt△ADE中，AH·DE=AD·AE， ∴AH=， ∴ ∴。