Question

已知过原点O的一条直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数的y=log₂x的图象交于C、D两点．
（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上；
（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标．

Answer 1

分析：（1）设出A、B的坐标，解出C、D的坐标，求出OC、OD的斜率相等则三点共线．
（2）BC平行x轴，B、C纵坐标相等，推出横坐标的关系，结合（1）即可求出A的坐标．

解答：解：（Ⅰ）设点A、B的横坐标分别为x₁、x₂由题设知，x₁＞1，x₂＞1．则点A、B纵坐标分别为log₈x₁、log₈x₂．
因为A、B在过点O的直线上，所以，

log8x1

x1

=

log8x2

x2

点C、D坐标分别为（x₁，log₂x₁），（x₂，log₂x₂）．
由于log₂x₁=

log8x1

log82

=3log₈x₁，
log₂x₂=

log8x2

log82

=3log₈x₂
OC的斜率k1=

log2x1

x1

=

3log8x1

x1

，
OD的斜率k2=

log2x2

x2

=

3log8x2

x2

．
由此可知，k₁=k₂，
即O、C、D在同一条直线上．
（Ⅱ）由于BC平行于x轴知
log₂x₁=log₈x₂，
即得log₂x₁=

1

3

log₂x₂，
∴x₂=x₁³．
代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁．
由于x₁＞1知log₈x₁≠0，
∴x₁³=3x₁．
考虑x₁＞1解得x₁=

3

．
于是点A的坐标为（

3

，log₈

3

）．

点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算能力和分析问题的能力．