Question

已知向量

a

=(

3

 ， cos2ωx) ，  

b

=(sin2ωx ，  1) ，  (ω＞0)，令f(x)=

a

•

b

，且f（x）的周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[0，

π

2

]时f（x）+m≤3，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）根据向量数量积坐标运算公式，结合辅助角公式化简整理可得f（x）=2sin（2ωx+

π

6

），用三角函数周期公式即可得到ω=1，从而得到函数f（x）的解析式；
（II）利用正弦函数的图象与性质，得到当x∈[0，

π

2

]时f（x）+m的最大值为2+m，结合不等式恒成立的等价条件，即可解出实数m的取值范围．

解答：解：（I）∵向量

a

=（

3

，cos2ωx），

b

=（sin2ωx，1），（ω＞0）
∴f(x)=

a

•

b

=

3

sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+

π

6

）
∵函数的周期T=

2π

2ω

=π，∴ω=1
即函数f（x）的解析式是f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
（II）当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴-

1

2

≤sin（2ωx+

π

6

）≤1
因此，若x∈[0，

π

2

]时，f（x）∈[-1，2]
∴f（x）+m≤3恒成立，即2+m≤3，解之得m≤1
即实数m的取值范围是（-∞，1]．

点评：本题给出向量的坐标式，求函数的表达式并讨论了函数恒成立的问题，着重考查了向量的数量积、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．