Question

设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，A是椭圆上的一点，AF₂⊥F₁F₂，原点O到直线AF₁的距离为．
（I）证明：；
（II）设Q₁，Q₂为椭圆上的两个动点，OQ₁⊥OQ₂，过原点O作直线Q₁Q₂的垂线OD，垂足为D，求点D的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求得A点的坐标，再求得直线AF1的方程，利用点到直线的距离结合条件得到一个关于a，b的关系式，化简即得；
（2）设点D的坐标为（x，y）．欲求其轨迹方程，即寻找x，y的关系式，由直线Q₁Q₂的方程和椭圆的方程组成方程组，结合向量的垂直关系即可找到找x，y的关系式，从而问题解决．
解答：解：（I）由题设AF₂⊥F₁F₂及F₁（-c，0），F₂（c，0），
不妨设点A（c，y），其中y＞0．
由于点A在椭圆上，有，即．
解得，从而得到．
直线AF₁的方程为，整理得b²x-2acy+b²c=0．
由题设，原点O到直线AF₁的距离为，即，
将c²=a²-b²代入上式并化简得a²=2b²，即．

（II）设点D的坐标为（x，y）．当y≠0时，由OD⊥Q₁Q₂知，直线Q₁Q₂的斜率为，
所以直线Q₁Q₂的方程为，或y=kx+m，其中．
点Q₁（x₁，y₁），Q₂（x₂，y₂）的坐标满足方程组
将①式代入②式，得x²+2（kx+m）²=2b²．
整理得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2b²=0．
于是，．③
由①式得y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²==．④
由OQ₁⊥OQ₂知x₁x₂+y₁y₂=0．将③式和④式代入得，3m²=2b²（1+k²）．
将代入上式，整理得．
当y=0时，直线Q₁Q₂的方程为x=x．点Q₁（x₁，y），Q₂（x₂，y₂）的坐标满足方程组
所以．
由OQ₁⊥OQ₂知x₁x₂+y₁y₂=0，即，解得
这时，点D的坐标仍满足．
综上，点D的轨迹方程为．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．