Question

设A，B是双曲线的两个焦点，C在双曲线上．已知△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，则该双曲线的离心率为______．

Answer 1

由题，不妨令点C在右支上，则有
AC=2a+x，BC=x，AB=2c；
∵△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，
∴x+2c=2（2a+x）?x=2c-4a；
AC=2a+x=2c-2a；
∵AB²=AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB；
∴（2c）²=（2c-4a）²+（2c-2a）²-2（2c-4a）（2c-2a）（-

1

2

）；
∴2c²-9ac+7a²=0?2e²-9e+7=0；
∴e=

7

2

，e=1（舍）．
故答案为：

7

2

．