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     已知抛物线的焦点F以及椭圆（）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：上。

    （1）求抛物线和椭圆的标准方程；

    （2）过点F的直线交抛物线于A，B两不同点，交y轴于点N，已知，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由。

    解析：（1）；（2）－1

    试题分析：（1）根据抛物线的焦点坐标满足圆的方程确定等量关系，求解抛物线方程；根据椭圆的焦点和右定点也在圆上，确定椭圆方程；（2）利用已知的向量关系式进行坐标转化求出，然后通过直线与抛物线方程联立，借助韦达定理进行化简并求值。

    试题解析：（1）由抛物线的焦点在圆O：上得：抛物线    

    同理由椭圆的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：上可解得：。

    得椭圆。                     

    （2）是定值，且定值为－1。

    设直线AB的方程为，则。

    联立方程组，消去y得：，

    ，且，          

    由得：，

    整理得：，

     

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （05年上海卷）（16分）

    已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5.过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M.

    （1）求抛物线方程；

    （2）过M作，垂足为N，求点N的坐标；

    （3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当是轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线的焦点为F，以点A（，0）为圆心，为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。

        （1）求证：点A在以M、N为焦点，且过F的椭圆上。

        （2）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得的等差中项？如果存在，求a的值；如果不存在，说明理由。

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    科目：高中数学 来源：2014届四川省高二下学期期中考试理科数学试卷（解析版） 题型：填空题

    已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与该抛物线交于A、B两点，设于于为弦AB的中点，则下列结论：①以AB为直径的圆必与准线l相切；    ②； 

    ③；     ④；    ⑤.

    其中一定正确的有                (写出所有正确结论的序号).

     

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    科目：高中数学 来源：2013届浙江省高二第一次月考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知抛物线的焦点为F，其准线与x轴交于点，过点作斜率为k的直线l交抛物线于A、B两点，弦AB的中点为P，AB的垂直平分线与  x轴交于点E（0）。

    （1）求k的取值范围；

    （2）求证：；

    （3）△PEF能否成为以EF为底的等腰三角形？若能，求出k的值，若不能，请说明理由。

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省莱芜市高三上学期期末检测理科数学 题型：解答题

     

    （本小题满分14分）

      已知抛物线的焦点为F，过F的直线交y轴正半轴于点，交抛物线于A，B两点，其中A在第二象限。

     （1）求证：以线段FA为直径为圆与Y轴相切；

    （2）若，求的值.

     

     

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