Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=（m+1）-ma_n对任意正整数n都成立，其中m为常数，且m＜-1，
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足：，求数列{b_n•b_n+1}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）由已知S_n=（m+1）-ma_n，S_n+1=（m+1）-ma_n+1，相减，
得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即，
所以{a_n}是等比数列
（2）当n=1时，a₁=m+1-ma₁，
则a₁=1，
从而，
由（1）知，
所以（n≥2）
∴，
∴，
，
∴=．
分析：（1）由S_n=（m+1）-ma_n可得S_n+1=（m+1）-ma_n+1，两式相减即可证得{a_n}是等比数列；
（2）由（1）可求得a₁，从而可得b₁，由，，可求，从而求得b_n=，继而有，T_n可求．
点评：本题考查数列的求和，难点在于求b_n，着重考查学生裂项法求和，属于中档题．