Question

已知数列{a_n}是等差数列，且满足：a₁+a₂+a₃=6，a₅=5；数列{b_n}满足：bn-bn-1=an-1(n≥2，n∈N*)，b₁=1．
（1）求a_n和b_n；
（2）记数列cn=

1

bn+2n

，(n∈N*)，若{c_n}的前n项和为T_n，求证Tn∈[

1

3

，1)．

Answer 1

分析：（1）利用公差与首项表示已知，可求a₁，d，进而可求a_n，由b_n-b_n-1=a_n-1=利用累加法可求b_n
（2）由cn=

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=

2

(n+1)•(n+2)

=2•(

1

n+1

-

1

n+2

)，利用裂项可求T_n，可证

解答：解：（1）因为a₁+a₂+a₃=6，a₅=5，所以

3a1+3d=6 a1+4d=5

⇒

a1=1 d=1

，
所以a_n=n；
又b_n-b_n-1=a_n-1=n-1，

(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(bn-2-bn-3)+…+(b3-b2)+(b2-b1) =(n-1)+(n-2)+(n-3)+…+2+1

得bn-b1=

n(n-1)

2

，所以bn=

n(n-1)

2

+b1=

n2-n+2

2

．
（2）因为cn=

1

bn+2n

=

2

n2+3n+2

=

2

(n+1)•(n+2)

=2•(

1

n+1

-

1

n+2

)，

Tn=2( 1 2 - 1 3 )+2( 1 3 - 1 4 )+2( 1 3 - 1 4 )+…+2( 1 n - 1 n+1 )+2( 1 n+1 - 1 n+2 ) =2( 1 2 - 1 n+2 )=1- 2 n+2

而0＜

2

n+2

≤

2

3

，所以Tn∈[

1

3

，1)．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及累加求解数列通项方法的应用，裂项求和是证明（2）的关键．