Question

16.如图，正三棱锥S－ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）二面角S－BC－A的大小；

（Ⅲ）正三棱锥S－ABC的体积.

Answer 1

16.本小题主要考查直线与平面的位置关系等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力.

解：（Ⅰ）∵SB=SC，AB=AC，

M为BC的中点，

∴SM⊥BC，AM⊥BC.

由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即

3×BC×SM＝2×BC×AM，

得＝.

（Ⅱ）作正三棱锥的高SG，则G为正三角形ABC的中心，G在AM上，GM＝AM.

∵SM⊥BC，AM⊥BC，

∴∠SMA是二面角S－BC－A的平面角.

在Rt△SGM中，

∵SM＝AM＝×3GM＝2GM，

∴∠SMA＝∠SMG＝60°，

即二面角S－BC－A的大小为60°.

（Ⅲ）∵△ABC的边长是3，

∴AM＝，GM＝，SG＝GMtan60°＝·＝，

∴V_S－ABC＝S_△ABC·SG＝··＝.