Question

一个口袋中有2个白球和n个红球（n≥2，且n∈N^*），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖．
（1）试用含n的代数式表示一次摸球中奖的概率P；
（2）若n=3，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为f（p），当n为何值时，f（p）最大．

Answer 1

分析：（1）求出一次摸球从n+2个球中任选两个方法，两球颜色相同有C_n²+C₂²种选法，即可求出摸球中奖的概率P；
（2）n=3，求出中奖的概率，三次摸球是独立重复实验，直接根据公式求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）求出三次摸球恰有一次中奖的概率为f（p），利用导数确定函数的单调性，求出n的值，使f（p）最大．

解答：解：（1）一次摸球从n+2个球中任选两个，有C_n+2²种选法，其中两球颜色相同有C_n²+C₂²种选法；一次摸球中奖的概率P=

C 2 n + C 2 2

C 2 n+2

=

n2-n+2

n2+3n+2

（4分）
（2）若n=3，则一次摸球中奖的概率是P=

2

5

，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是P3(1)=

C

1 3

•P•(1-P)2=

54

125

（8分）
（3）设一次摸球中奖的概率是p，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是f（p）=C₃¹•p•（1-p）²=3p³-6p²+3p，0＜p＜1，∵f'（p）=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1）∴f（p）在(0，

1

3

)是增函数，在(

1

3

，1)是减函数，
∴当p=

1

3

时，f（p）取最大值（10分）
∴p=

n2-n+2

n2+3n+2

=

1

3

（n≥2，n∈N*），
∴n=2，故n=2时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大．（12分）

点评：本题考查组合及组合数公式，等可能事件的概率，考查计算能力，是中档题．