Question

设函数内有极值．
（1）求实数a的取值范围；
（2）若x₁∈（0，1），x₂∈（1，+∞），求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），求导函数，利用函数在内有极值，可得f′（x）=0在内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）根据αβ=1，可设，则β＞e，从而可求实数a的取值范围；
（2）求导函数确定函数f（x）的单调性，进而由x₁∈（0，1），可得；由x₂∈（1，+∞），可得，所以f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α），又=．记，可得h（β）在（0，+∞）上单调递增，从而问题得证．
解答：（1）解：函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）
求导函数
∵函数在内有极值
∴f′（x）=0在内有解，令g（x）=x²-（a+2）x+1=（x-α）（x-β）
∵αβ=1，不妨设，则β＞e
∵g（0）=1＞0，
∴，
∴
（2）证明：由f′（x）＞0，可得0＜x＜α或x＞β；由f′（x）＜0，可得α＜x＜1或1＜x＜β
∴f（x）在（0，α）内递增，在（α，1）内递减，在（1，β）内递减，在（β，+∞）递增
由x₁∈（0，1），可得
由x₂∈（1，+∞），可得
∴f（x₂）-f（x₁）≥f（β）-f（α）
∵αβ=1，α+β=a+2
∴==
记
则h′（β）=＞0，h（β）在（0，+∞）上单调递增
∴
∴
点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查不等式的证明，综合性比较强．