Question

已知椭圆C₁的方程为+y²=1，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点．
（Ⅰ）求双曲线C₂的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足•＜6（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设出双曲线的标准方程，然后结合椭圆的顶点与焦点易得双曲线的焦点与顶点，即求得双曲线的c与a，再由a²+b²=c²求得b²，则双曲线方程解决；
（Ⅱ）把直线方程分别与椭圆方程、双曲线方程联立，不妨消y得x的方程，则它们均为一元二次方程且判别式大于零，由此得出k的取值范围；再结合一元二次方程根与系数的关系用k的代数式表示出x_A+x_B，x_Ax_B，进而把转化为k的不等式，求出k的又一取值范围，最后求k的交集即可．
解答：解：（Ⅰ）设双曲线C₂的方程为-=1，则a²=4-1=3，再由a²+b²=c²得b²=1．
故C₂的方程为-y²=1．
（II）将y=kx+代入+y²=1得（1+4k²）x²+8kx+4=0
由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得△1=-16（1+4k²）=16（4k²-1）＞0，
即k²＞①
将y=kx+代入-y²=1得（1-3k²）x²-6kx-9=0．
由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B得
即k²≠且k²＜1．②
设A（x_A，y_A）B（x_B，y_B），则x_A+x_B=，x_A•x_B=．
由•＜6得x_Ax_B+y_Ay_B＜6，
而x_Ax_B+y_Ay_B=x_Ax_B+（kx_A+）（kx_B+）
=（k²+1）x_Ax_B+（x_A+x_B）+2
=（k²+1）•+k•+2
=．
于是＜6，即＞0．
解此不等式得k²＞或k²＜．③
由①、②、③得＜k²＜或＜k²＜1．
故k的取值范围为（-1，-）∪（-，-）∪（，）∪（，1）．
点评：本题考查双曲线的标准方程以及直线和圆锥曲线的位置关系，综合性强，字母运算能力是一大考验．