Question

【题目】（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简．

案例：考察恒等式左右两边的系数．

因为右边，

所以，右边的系数为，

而左边的系数为，

所以＝．

（2）求证：．

Answer 1

【答案】(1)；(2)见解析.

【解析】

（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右两边x3的系数可得；

（2）根据 ，考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右两边xn的系数．考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右两边xn﹣1的系数，可得等式成立．

（1）考查恒等式（1+x）7＝（1+x）3（x+1）4左右两边x3的系数，

因为右边（1+x）3（x+1）4＝（+x+x2+x3）（x4+x3+x2+x+），

所以，右边x3的系数为＝

而左边x3的系数为：，所以．

（2）∵，

．

考查恒等式（1+x）2n＝（1+x）n（x+1）n左右两边xn的系数．

因为右边xn的系数为＝，而左边的xn的系数为．

所以，同理可求得

考查恒等式（1+x）2n﹣1＝（1+x）n﹣1（x+1）n左右两边xn﹣1的系数，

因为右边（1+x）n﹣1（x+1）n＝（+x+…+xn﹣1）（xn+xn﹣1+…+），

所以，右边的xn﹣1的系数为＝，

而左边的xn﹣1的系数为，所以＝，

﹣＝+2n+﹣

＝2n+＝n（+）+＝n（+）+

＝n+＝（n+1）．