Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²-n-2，若a_m，a_m+1，a_m+3成等比数列，则正整数m的值为

 

．

Answer 1

分析：根据s_n与a_n的关系式：a_n=

s1      n=1 sn-sn-1n≥ 2

，求出通项公式，验证n=1时是否成立，根据等比中项求m的值．

解答：解：∵S_n=n²-n-2，∴当n=1时，a₁=s₁=-2，
当n=1时，a_n=s_n-s_n-1=2（n-1），
∵当n=1时代入上式验证不满足，∴a_n=

-2         n=1 2(n-1)   n≥2

，
∵a_m，a_m+1，a_m+3成等比数列
∴当m=1时，（a₂）²=a₁×a₃，无解；
当m≥2时，a_m+1²=a_m×a_m+2，即m²=m²+m-2，解得，m=2
故答案为：2．

点评：本题是由数列的前项和公式求通项公式a_n，注意验证n=1时是否成立，不成立时用分段函数来表示；求m的值时，分两种情况求解．