Question

△ABC中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60°，a=（

3

-1）c．
（1）求角A的大小；
（2）已知S_△ABC=6+2

3

，求函数f（x）=cos2x+asinx的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理，以及三角形的内角和，直接求出角A的大小；
（2）利用S_△ABC=6+2

3

，求出a，然后化简函数f（x）=cos2x+asinx为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最大值．

解答：解：（1）因为B=60°，所以A+C=120°，C=120°-A  
因为a=（

3

-1）c，由正弦定理可得：sinA=（ 

3

-1）sin C
sinA=（ 

3

-1）sin（

2π

3

-A）=（

3

-1）（sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA）=（

3

-1）（

3

2

cosA+

1

2

sinA），
整理可得：tanA=1   所以，A=45°（或

π

4

）      
（2）因为 S_△ABC=6+2

3

，所以   

1

2

acsinB=6+2

3

 即   

1

2

a

a

3 -1

3

2

= 6+2

3

 
所以a=4
 函数f（x）=cos2x+4sinx=1-2sin²x+4sinx=-2（sinx-1）²+3
∴当 sinx=1时，f_max（x）=3，

点评：本题是中档题，考查正弦定理的应用，三角函数值域及二次函数值域，容易忽视正弦函数的范围而出错．高考对三角函数的考查一直以中档题为主，只要认真运算即可