Question

出于应用方便和数学交流的需要，我们教材定义向量的坐标如下：取

e1

和

e2

为直角坐标第xOy中与x轴和y轴正方向相同的单位向量，根据平面向量基本定理，对于该平面上的任意一个向量

a

，则存在唯一的一对实数λ，μ，使得

a

=λ

e1

+μ

e2

，我们就把实数对（λ，μ）称作向量

a

的坐标．并依据这样的定义研究了向量加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．现在我们用

i

和

j

表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，其中＜

i

，

j

＞=

π

3

，
（1）请你模仿直角坐标系xOy中向量坐标的定义方式，用向量

i

和

j

做基底向量定义斜坐标系x‘Oy’平面上的任意一个向量

a

的坐标；
（2）在（1）的基础上研究斜坐标系x‘Oy’中向量的加法、减法、数乘向量及数量积的坐标运算公式．

Answer 1

分析：（1）用

i

和

j

表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，对于平面向量

a

，存在唯一的实数对p，q，使得

a

=p

i

+q

j

，定义数对（p，q）为向量

a

在斜坐标系下的坐标．
（2）设出两个向量的坐标，模仿直角坐标系中两个向量的加法，减法，数乘和数量积写出来，只是在两个向量数量积的运算中，注意应用数量积的运算律．

解答：解：（1）根据平面向量基本定理，用

i

和

j

表示斜坐标系x‘Oy’中与x‘轴和y轴正方向相同的单位向量，
对于平面向量

a

，存在唯一的实数对p，q，使得

a

=p

i

+q

j

，定义数对（p，q）为向量

a

在斜坐标系下的坐标．
（2）设

a

，

b

在斜坐标系中的坐标分别为（a₁，b₁），（a₂，b₂），
那么

a

+

b

=（a₁+a₂，b₁+b₂）

a

-

b

=（a₁-a₂，b₁-b₂）
λ

a

=（λa₁，λb₁）

a

•

b

=a₁a₂+b₁b₂+

1

2

(a1b2+b1a2)

点评：本题考查平面向量正交分解的应用，考查一个新定义问题，考查两个向量的四则运算，考查学生的理解能力和应变能力，是一个比较好的题目．