Question

（2007•杨浦区二模）（文）设F₁、F₂分别为椭圆C：

x2

m2

+

y2

n2

=1（m＞0，n＞0且m≠n）的两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，

3

2

）到两个焦点的距离之和等于4，求椭圆C的方程．
（2）如果点P是（1）中所得椭圆上的任意一点，且

PF1

•

PF2

=0，求△PF₁F₂的面积．
（3）若椭圆C具有如下性质：设M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为K_QM、K_QN，那么K_QM和K_QN之积是与点Q位置无关的定值．试问：双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）是否具有类似的性质？并证明你的结论．通过对上面问题进一步研究，请你概括具有上述性质的二次曲线更为一般的结论，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆定义先求m=，再根据点A（1，

3

2

）在椭圆上求n的值，需要主要进行分类讨论
（2）利用椭圆定义得 PF₁+PF₂=2m，PF₁²+PF₂²=4，从而有 PF₁PF₂=6，故可求△PF₁F₂的面积；
（3）设M，N是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，利用点差法可证

解答：解：（1）当m＞n时，由椭圆定义得 2m=4，∴m=2（2分）
又点A（1，

3

2

）在椭圆上  所以

1

m2

+

9 4

n2

=1， ∴ n2=3
∴

x2

4

+

y2

3

=1 （3分）
同理，当m＜n时，椭圆方程

x2

3

+

y2

4

=1 （4分）
（2）当m＞n时，由椭圆定义得 PF₁+PF₂=2m，PF₁²+PF₂²=4
解得  PF₁PF₂=6             （8分）
所以△PF₁F₂的面积为3
同理，当m＜n时，△PF₁F₂的面积也为3   （10分）
（3）设M，N是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上关于原点对称的两点，点Q是椭圆上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为K_QM，K_QN，那么K_QM，K_QN之积是与点Q位置无关的定值．
设点M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．Q（x₀，y₀）
则

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x02

a2

-

y02

b2

=1
作差得

(y1-y0)(y1+y0)

(x1-x0)(x1+x0)

=

b2

a2

（12分）
所以KQMKQN=

b2

a2

（14分）
设M，N是二次曲线mx²+ny²=1上关于原点对称的两点，点Q是二次曲线上任意一点，且直线QM与直线QN的斜率都存在，分别记为K_QM，K_QN，
那么KQMKQN=-

m

n

     （15分）
证明  设点点M（x₁，y₁），N（-x₁，-y₁）．Q（x₀，y₀）
则mx₁²+ny₁²=1，mx₀²+ny₀²=1
作差得

(y1-y0)(y1+y0)

(x1-x0)(x1+x0)

=-

m

n

∴KQMKQN=-

m

n

  （18分）

点评：本题的考点是椭圆的定义，主要考查椭圆的定义，考查三角形的面积，考查点差法求解斜率问题，综合性较强．