Question

【题目】已知等差数列与等比数列是非常数的实数列，设.

（1）请举出一对数列与，使集合中有三个元素；

（2）问集合中最多有多少个元素？并证明你的结论；

Answer 1

【答案】(1) .

(2)3个，证明见解析.

【解析】分析：（1），则；（2）不妨设，由，令，原问题转化为关于的方程最多有多少个解，可以证明当时，方程①最多有个解：时，方程①最多有个解，从而可得结果.

详解：（1），则

（2）不妨设，由

令，原问题转化为关于的方程

①

最多有多少个解.

下面我们证明：当时，方程①最多有个解：时，方程①最多有个解

当时，考虑函数，则

如果，则为单调函数，故方程①最多只有一个解；

如果，且不妨设由得由唯一零点，于是当时，

恒大于或恒小于，当时，恒小于或恒大于

这样在区间与上是单调函数，故方程①最多有个解

当时，如果

如果为奇数，则方程①变为

显然方程最多只有一个解，即最多只有一个奇数满足方程①

如果为偶数，则方程①变为

，由的情形，上式最多有个解，即满足①的偶数最多有个

这样，最多有个正数满足方程①

对于，同理可以证明，方程①最多有个解.

综上所述，集合中的元素个数最多有个.

再由（1）可知集合中的元素个数最多有个.