Question

【题目】如图，在正方体中，E、F、G、H分别是的中点.

（1）证明：平面

（2）证明：平面平面.

（3）求直线AE与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】

（1）用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立适当的坐标系，分别找出平面和平面的一个法向量和，然后求出，即可证明平面平面；

（3）根据线面角的正弦值即为直线与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值，即可求出结果.

（1）连接，，因为为正方体，所以四边形为矩形，

所以，因为平面，平面，所以平面；

（2）如图以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的正半轴，建立空

间直角坐标系，设正方体棱长为2，所以，，，所以

，，设平面的法向量为，所以，即，

令，则，，所以，设平面的法向量为

，又，，，所以，

，所以

即，令，所以，，所以，所以，

所以，所以平面平面；

（3）由（2）可得，平面的一个法向量为，设线AE与平面

所成角为 ，所以.