Question

数列{

1

n(n+1)

}的前n项和Sn=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

，研究一下，能否找到求S_n的一个公式．你能对这个问题作一些推广吗？

Answer 1

分析：利用裂项法求出

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，然后进行求和即可．

解答：解：数列{

1

n(n+1)

}的通项公式为a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
类似地，我们可以求出通项公式为an=

1

n(n+k)

=

1

k

(

1

n

-

1

n+k

)的数列的前n项和．

点评：本题主要考查数列求和的知识，利用裂项法是解决本题的关键，要求掌握常见数列求和的几种基本方法．