Question

【题目】已知函数满足，，．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间；

（3）当且时，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，函数的单调递增区间为，

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）详见解析.

【解析】

（1）由已知中，可得，进而可得，，进而得到函数的解析式；

（2）由（1）得：，即，，对a进行分类讨论，可得不同情况下函数的单调区间；

（3）令，，然后利用导数研究各自单调性，结合单调性分类去掉和的绝对值，再构造差函数，利用导数证明大小.

（1）∵，

∴，

∴，

即，

又∵，

所以，

所以；

（2）∵，
∴，

∴，

①当时，恒成立，函数在R上单调递增；

②当时，由得，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

综上，当时，函数的单调递增区间为，

当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；

（3）令，，当且时，

由得在上单调递减，

所以当时，，当时，，

而，，

所以在上单调递增，，

则在上单调递增，，

①当时，，

，所以在上单调递减，

，，

②当时，，

，，

所以，所以递减，，，

综上， ．